Question

12．如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠C=120°，AB=4，BC=CD=2，则该四边形的面积是$5\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求BD，进而利用三角形面积公式可求S_△ABD和S_△BCD，从而求得四边形的面积．

解答 解：∵∠ABC=∠C=120°，AB=4，BC=CD=2，
∴在△BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}-2BC•CD•cosC}$=$\sqrt{4+4-2×2×2×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•BD•sin（120°-30°）=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
S_△BCD=$\frac{1}{2}BC•CD•sin120°$=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴四边形的面积S=S_△ABD+S_△BCD=4$\sqrt{3}+\sqrt{3}$=5$\sqrt{3}$．
故答案为：$5\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．