Question

3．已知复数z=1+i（i为虚数单位）．
（1）设ω=z²+3$\overline{z}$-4，求|ω|；
（2）若$\frac{a-{i}^{3}}{z}$=2-i，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）由复数z=1+i，得$\overline{z}=1-i$，把z和$\overline{z}$代入ω=z²+3$\overline{z}$-4化简再由复数求模公式计算得答案；
（2）直接由复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数相等的充要条件列方程组，求解即可得答案．

解答 解：（1）由复数z=1+i，得$\overline{z}=1-i$．
则ω=z²+3$\overline{z}$-4=（1+i）²+3（1-i）-4=1+2i-1+3-3i-4=-1-i，
故|ω|=$\sqrt{（-1）^{2}+（-1）^{2}}=\sqrt{2}$；
（2）$\frac{a-{i}^{3}}{z}$=$\frac{a+i}{1+i}$=$\frac{（a+i）（1-i）}{（1+i）（1-i）}=\frac{a-ai+i+1}{2}$=$\frac{a+1}{2}-\frac{a-1}{2}i$=2-i，
由复数相等的充要条件得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{2}=2}\\{-\frac{a-1}{2}=-1}\end{array}\right.$，解得a=3．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法以及复数相等的充要条件，是基础题．