Question

【题目】已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = ，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．

（1）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；

（2）当 取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值．

Answer 1

【答案】(1) 有最大值为;(2) 二面角的余弦值为：－.

【解析】试题分析：（1）由平面， ，可得，进而由面面垂直的性质定理得到平面，进而建立空间坐标系，可得的解析式，根据二次函数的性质，易求出有最大值；（2）根据（1）的结论平面的一个法向量为，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角的余弦值.

试题解析：（1）∵平面平面,AE⊥EF,

∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz．则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），

E（0，0，0）∵AD∥面BFC，

所以VA-BFC＝

，即时有最大值为．

（2）设平面DBF的法向量为，∵AE=2, B（2，0，0），

D（0，2，2），F（0，3，0）,∴ （－2，2，2）,

则，即，

取x＝3，则y＝2，z＝1，∴

面BCF的一个法向量为

则cos<>=.

由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为：－