Question

6．若函数f（x）=$\frac{1}{3}$（a-1）x³+$\frac{1}{2}$ax²-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$在其定义域内有极值点，则a的值为（-∞，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$）∪（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 函数f（x）=$\frac{1}{3}$（a-1）x³+$\frac{1}{2}$ax²-$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{5}$有极值，等价于f′（x）=0有两个不相等的实数根，由此能求出a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{3}$（a-1）x³+$\frac{1}{2}$ax²-$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{5}$，
∴f′（x）=（a-1）x²+ax-$\frac{1}{4}$，
∵函数f（x）=$\frac{1}{3}$（a-1）x³+$\frac{1}{2}$ax²-$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{5}$在其定义域内有极值点，
当a≠1时，f′（x）=（a-1）x²+ax-$\frac{1}{4}$=0有两个不相等的实数根，
∴△=a²-4×（a-1）×（-$\frac{1}{4}$）＞0并且a-1≠0，
解得a＞1或1＞a＞$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或a＜$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，
当a=1时，函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{5}$是二次函数，满足题意．
∴a的取值范围为（-∞，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$）∪（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）．
故答案为：（-∞，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$）∪（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

点评 本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．