Question

18．设f（x）=ax³+3ax²+1，g（x）=e^x（e=2.71828…是自然对数的底数），f′（x）是f（x）的导数．
（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＜0时，若函数f′（x）与g（x）的图象都与直线l相切于点P（x₀，y₀），求实数x₀的值；
（Ⅲ）求证：当a≤-1时，函数f（x）与g（x）的图象在（-2，0）上有公共点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a＞0时，求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（Ⅱ）求出函数f′（x）与g（x）的导数，由题意可得f″（x₀）=g′（x₀），f（x₀）=g（x₀），解方程即可得到所求值；
（Ⅲ）求出f（x）的导数，显然f（0）=g（0），当-2＜x＜0时，f（x）递增，且f（-2）=1-4a＜0，求得f（-$\frac{1}{2}$）-g（-$\frac{1}{2}$）＜0，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）当a＞0时，f（x）=ax³+3ax²+1的导数为：
f′（x）=3ax²+6ax=3ax（x+2），
由f′（x）＞0，可得x＞0或x＜-2；由f′（x）＜0，可得-2＜x＜0．
即有f（x）的增区间为（-∞，-2），（0，+∞）；减区间为（-2，0）；
（Ⅱ）f′（x）=3ax（x+2），g′（x）=e^x，
由题意可得f″（x₀）=g′（x₀），f（x₀）=g（x₀），
即为6a（x₀+1）=e${\;}^{{x}_{0}}$，3ax₀（x₀+2）=e${\;}^{{x}_{0}}$，（a＜0），
解得x₀=-$\sqrt{2}$（正的舍去）；
（Ⅲ）证明：f（x）=ax³+3ax²+1，g（x）=e^x，
显然f（0）=g（0）=1，
f（x）的导数为f′（x）=3ax（x+2），a≤-1，
当x＞0时，f（x）递减，g（x）递增；
当-2＜x＜0时，f（x）递增，且f（-2）=1-4a＜0，
由f（-$\frac{1}{2}$）-g（-$\frac{1}{2}$）=1+$\frac{5}{8}$a-e${\;}^{-\frac{1}{2}}$≤1-$\frac{5}{8}$-$\frac{1}{\sqrt{e}}$=$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{\sqrt{e}}$＜0，
当a无限趋向于-∞?时，f（x）与g（x）的图象的交点趋向于点（0，1）．
即有当a≤-1时，函数f（x）与g（x）的图象在（-2，0）上有公共点．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查函数图象的交点问题的解法，注意运用函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．