Question

3．函数f（x）=x|x-a|（x∈R，a∈R）
（1）若a=1，求证：函数f（x）不是偶函数；
（2）若x∈[0，2]，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）a=1时，便可得出f（x）=x|x-1|，进而可以求出f（-1），f（1），可看出f（-1）≠f（1），从而得出函数f（x）不是偶函数；
（2）去绝对值号得到$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}&{x≥a}\\{-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}&{x＜a}\end{array}\right.$，从而可讨论a：a≤0，0＜a＜2，2≤a＜4，及a≥4，对于每种情况，根据x的范围便可得出对应的解析式，由解析式直接便可得出该种情况的f（x）的最大值，或在该种情况里讨论x的范围，求出每个范围f（x）的最大值再进行比较，即可得出该种情况f（x）的最大值．

解答 解：（1）证明：a=1时，f（x）=x|x-1|；
∴f（-1）=-2，f（1）=0；
∴f（-1）≠f（1）；
∴函数f（x）不是偶函数；
（2）$f（x）=x|x-a|=\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}&{x≥a}\\{-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}&{x＜a}\end{array}\right.$；
∵x∈[0，2]；
∴①a≤0时，$f（x）=（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}$；
∴x=2时，f（x）取最大值4-2a；
②0＜a＜2时，1）若x∈[0，a），则$f（x）=-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}$；
∴$x=\frac{a}{2}$时，f（x）取最大值$\frac{{a}^{2}}{4}$；
2）若x∈[a，2]，则$f（x）=（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}$；
∴x=2时，f（x）取最大值4-2a；
∵0＜a＜2，解$\frac{{a}^{2}}{4}-（4-2a）≥0$得，$-4+4\sqrt{2}≤a＜2$；
∴$0＜a＜-4+4\sqrt{2}$时，f（x）的最大值为4-2a，$-4+4\sqrt{2}≤a＜2$时，f（x）的最大值为$\frac{{a}^{2}}{4}$；
③2≤a＜4时，$1≤\frac{a}{2}＜2$，$f（x）=-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}$；
1）若x∈[0，1），则x=1时，f（x）取最大值a-1；
2）若x∈[1，2），则x=$\frac{a}{2}$时，f（x）取最大值$\frac{{a}^{2}}{4}$；
∵2≤a＜4，∴$\frac{{a}^{2}}{4}-（a-1）=\frac{1}{4}（a-2）^{2}≥0$；
∴f（x）的最大值为$\frac{{a}^{2}}{4}$；
④a≥4时，$\frac{a}{2}≥2$，$f（x）=-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}$；
∴x=2时，f（x）取最大值2a-4；
设f（x）的最大值为g（a），则：
$g（a）=\left\{\begin{array}{l}{4-2a}&，{a＜-4+4\sqrt{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{4}}&，{-4+4\sqrt{2}≤a＜4}\\{2a-4}&，{a≥4}\end{array}\right.$．

点评 考查偶函数的定义，判断一个函数不是偶函数的方法，以及含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，配方求二次函数最值的方法，以及作差比较法的运用．