Question

12．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＜0，-π＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）在区间$[\frac{3π}{2}，2π]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由函数图象可求周期T，利用周期公式可求ω，又$f（\frac{5π}{6}）=2$，即$sin（-\frac{3}{2}×\frac{5π}{6}+φ）=1$，结合范围-π＜φ＜π，可求φ，即可得解f（x）的表达式．
（2）由（1）可知：$f（x）=2sin（-\frac{3}{2}x-\frac{π}{4}）=-2sin（\frac{3}{2}x+\frac{π}{4}）$，由$x∈[\frac{3π}{2}，2π]$，可求$\frac{3}{2}x+\frac{π}{4}∈[\frac{5π}{2}，\frac{13π}{4}]$，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）∵由题意可得：$\frac{3}{4}•\frac{2π}{|ω|}=\frac{5π}{6}-（-\frac{π}{6}）$（ω＜0），
∴$ω=-\frac{3}{2}$，
∴$f（x）=2sin（-\frac{3}{2}x+φ）$，
又∵$f（\frac{5π}{6}）=2$，即$sin（-\frac{3}{2}×\frac{5π}{6}+φ）=1$，
而-π＜φ＜π，
∴故$φ=-\frac{π}{4}$，
∴$f（x）=2sin（-\frac{3}{2}x-\frac{π}{4}）$．
（2）∵由（1）可知：$f（x）=2sin（-\frac{3}{2}x-\frac{π}{4}）=-2sin（\frac{3}{2}x+\frac{π}{4}）$，
∵由$x∈[\frac{3π}{2}，2π]$，则$\frac{3}{2}x+\frac{π}{4}∈[\frac{5π}{2}，\frac{13π}{4}]$，
∴最大值为$\sqrt{2}$，最小值为-2．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．