Question

2．在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量$\overrightarrow{m}$=（cosA+$\sqrt{2}$，sinA），向量$\overrightarrow{n}$=（-sinA，cosA），若|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=2．
（1）求角A的大小；
（2）若b=4$\sqrt{2}$，且c=$\sqrt{2}$a，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据向量模的运算表示出|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|²，然后化简成y=Asin（wx+ρ）+b的形式，再根据正弦函数的性质和|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=2可求出A的值．
（2）先根据余弦定理求出a，c的值，再由三角形面积公式可得到最后答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$=（cosA+$\sqrt{2}$-sinA，cosA+sinA），
∴|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|²=（cosA+$\sqrt{2}$-sinA）²+（cosA+sinA）²，
=2+2$\sqrt{2}$（cosA-sinA）+（cosA-sinA）²+（cosA+sinA）²
=2+2$\sqrt{2}$（cosA-sinA）+2
=4-4sin（A-$\frac{π}{4}$），
∵|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=2，
∴4sin（A-$\frac{π}{4}$）=0，
又∵0＜A＜π，
∴-$\frac{π}{4}$＜A-$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴A-$\frac{π}{4}$=0，
∴A=$\frac{π}{4}$．
（2）∵由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，又b=4$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$a，A=$\frac{π}{4}$，
得：a²=32+2a²-2×4$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$a•$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即：a²-8$\sqrt{2}$a+32=0，解得a=4$\sqrt{2}$，
∴c=8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$b•csinA=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×8×$sin$\frac{π}{4}$=16．

点评 本题主要考查向量的求模运算、余弦定理和三角形面积公式的应用．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视，属于中档题．