Question

13．已知双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x=a与抛物线y²=$\frac{4}{3}$cx交于A，B两点，且△ABF为直角三角形，则双曲线M的离心率为3．

Answer 1

分析 联立直线和抛物线方程求出A，B的纵坐标，结合三角形是直角三角形进行求解即可．

解答 解：将x=a代入y²=$\frac{4}{3}$cx得y²=$\frac{4}{3}$ac，即y=±$\frac{2\sqrt{3ac}}{3}$，
∵△ABF为直角三角形，∴AF=BF，且AF⊥BF，则c-a=$\frac{1}{2}$|AB|=$\frac{2\sqrt{3ac}}{3}$，
即c²-$\frac{10}{3}$ac+a²=0，得c=3a或c=$\frac{1}{3}$a，
即离心率e=$\frac{c}{a}$=3或$\frac{1}{3}$（舍），
故答案为：3．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和抛物线方程的关系求出交点的纵坐标是解决本题的关键．