Question

18．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）相交于不同的两点A，B．
（1）若α=$\frac{π}{3}$，求直线AB的极坐标方程；
（2）若直线的斜率为$\frac{\sqrt{5}}{4}$，点P（2，$\sqrt{3}$），求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）求出直线l的普通方程，利用极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程；
（2）写出直线l的参数方程，代入曲线C的普通方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义计算．

解答 解：（1）$α=\frac{π}{3}$时，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），∴$\sqrt{3}$x-y=$\sqrt{3}$，即直线l的普通方程为$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0．
∴直线l的极坐标方程为$\sqrt{3}$ρcosθ-ρsinθ-$\sqrt{3}$=0．
（2）当直线的斜率为$\frac{\sqrt{5}}{4}$时，tanα=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，∴sinα=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{21}}$，cosα=$\frac{4}{\sqrt{21}}$．
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{4}{\sqrt{21}}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{21}}t}\end{array}\right.$（t为参数），
曲线C的普通方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
把直线l的参数方程代入曲线C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$得：$\frac{3}{7}{t}^{2}+\frac{4+2\sqrt{15}}{\sqrt{21}}t+3=0$．
∴t₁t₂=7．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=7．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，参数的几何意义及应用，属于中档题．