Question

9．已知函数f（x）=x²lnx+ax（a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距；
（Ⅱ）对于任意的x₀＞0，记函数f（x）的图象在点（x₀，f（x₀））处的切线在y轴上的截距为g（x₀），求g（x₀）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，可得所求切线的方程，令x=0，即可得到所求y轴上的截距；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程，可令x=0，可得y轴上的截距，求得g（x₀）的导数和单调区间，即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x²lnx+ax的导数为f′（x）=2xlnx+x+a，
可得函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为1+a，
切点为（1，a），即有切线的方程为y-a=（1+a）（x-1），
令x=0，可得y=a-1-a=-1，
在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为-1；
（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=2xlnx+x+a，
可得函数f（x）的图象在点（x₀，f（x₀））处的切线斜率为2x₀lnx₀+x₀+a，
即有切线的方程为y-（x₀²lnx₀+ax₀）=（2x₀lnx₀+x₀+a）（x-x₀），
令x=0，可得y=x₀²lnx₀+ax₀-x₀（2x₀lnx₀+x₀+a）=-x₀²lnx₀-x₀²，
设g（x₀）=-x₀²lnx₀-x₀²，g′（x₀）=-（2x₀lnx₀+x₀）-2x₀=-x₀（2lnx₀+3），
当x₀∈（0，e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）时，g′（x₀）＞0，g（x₀）递增；
当x₀∈（e${\;}^{-\frac{3}{2}}$，+∞）时，g′（x₀）＜0，g（x₀）递减．
可得g（x₀）_max=g（e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）=$\frac{1}{2}$e^-3．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查直线方程的运用，正确求导是解题的关键，属于中档题．