Question

8．已知F₁、F₂分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点，由F₁、F₂分别作直线l：y=$\frac{2b}{\sqrt{3}a}$（x-1）的垂线段，垂足为M、N，若|MN|=$\sqrt{3}$c，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Answer 1

分析 根据△CMF₂∽△CF₁N，建立比例关系，求出CM和MF₂的大小，根据直角三角形建立方程关系进行求解即可．

解答 解：直线l：y=$\frac{2b}{\sqrt{3}a}$（x-1）过定点C（1，0），
F₁（-c，0），F₂（c，0），不妨设c＞1，
l：由y=$\frac{2b}{\sqrt{3}a}$（x-1）得2bx-$\sqrt{3}$a-2b=0，
则|FM₂|=$\frac{|2bc-2b|}{\sqrt{4{b}^{2}+3{a}^{2}}}$，
则$\frac{CN}{CM}$=$\frac{C{F}_{1}}{C{F}_{2}}$=$\frac{c+1}{c-1}$，
则|CN|=$\frac{c+1}{c-1}$•|CM|，
∵|MN|=$\sqrt{3}$c，
∴|MN|=$\frac{c+1}{c-1}$•|CM|+|CM|=$\frac{2c}{c-1}$|CM|=$\sqrt{3}$c，
则|CM|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（c-1），
∵|CF₂|²=|MF₂|²+|CM|²，
∴（c-1）²=$\frac{4{b}^{2}（c-1）^{2}}{4{b}^{2}+3{a}^{2}}$+$\frac{3（c-1）^{2}}{4}$，
即$\frac{4{b}^{2}}{4{b}^{2}+3{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，即16b²=4b²+3a²，
则a²=4b²=4（c²-a²），
即5a²=4c²，
即$\sqrt{5}$a=2c，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据三角形的相似性建立比例关系求出相应的线段长度，建立关于a，c的方程关系是解决本题的关键．