Question

10．以双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F为圆心，a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据圆和渐近线的垂直关系建立方程条件进行求解即可．

解答 解：由题意知圆心F（c，0），双曲线的渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x，不妨设其中一条为bx-ay=0，
∵圆与渐近线相切，
∴圆心到渐近线的距离d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{bc}{c}$=b=a，
即c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{2}a$
即离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆的相切关系建立方程是解决本题的关键．