Question

12．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$cos（x-$\frac{π}{4}$），若f（θ）=$\frac{2}{3}$，θ∈（0，π），求cos2θ的值．

Answer 1

分析 利用函数的解析式，结合两角和与差的三角函数化简表达式，利用二倍角公式求解即可．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{2}$cos（x-$\frac{π}{4}$），若f（θ）=$\frac{2}{3}$，θ∈（0，π），
可得：$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{2}{3}$，
cosθ+sinθ=$\frac{2}{3}$，2sinθcosθ+1=$\frac{4}{9}$，
2sinθcosθ=-$\frac{5}{9}$，∴θ∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）.2θ∈（π，$\frac{3π}{2}$）．即：sin2θ=-$\frac{5}{9}$，
cos2θ=-$\sqrt{1-si{n}^{2}2θ}$=-$\sqrt{1-（-\frac{5}{9}）^{2}}$=-$\frac{2\sqrt{14}}{9}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，判断角的范围是解题的关键．