Question

14．求证：函数f（x）=e^x-lnx-1无零点．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，得到f（x）在（1，+∞）递增，在（0，1]大于0，从而证出f（x）无零点即可．

解答 解：∵f（x）=e^x-lnx-1，
∴f′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，
x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，+∞）递增，
∴x＞1时，f（x）＞f（1）=e-1＞0，
x∈（0，1]时，e^x＞1，lnx≤0，
∴f（x）＞0，
综上，f（x）＞0在（0，+∞）恒成立，无零点．

点评 本题考查了函数的零点问题，考查转化思想以及数形结合思想，是一道中档题．