Question

6．已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边，若a²+c²=b²+$\sqrt{3}$ac，a=$\sqrt{3}$b，则下列关系可能成立的是①②④．
①b=c            ②2b=c              ③a=c       ④a²+b²=c²．

Answer 1

分析 由余弦定理可得cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合B的范围可求B=$\frac{π}{6}$，又a=$\sqrt{3}$b，利用正弦定理可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合范围A∈（0，π），可得A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，分类讨论利用三角形内角和定理，勾股定理即可得解．

解答 解：∵a²+c²=b²+$\sqrt{3}$ac，
∴a²+c²-b²=$\sqrt{3}$ac，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}ac}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{6}$，
又∵a=$\sqrt{3}$b，
∴利用正弦定理可得：sinA=$\sqrt{3}$sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
∴当A=$\frac{π}{3}$时，C=π-A-B=$\frac{π}{2}$，可得：a²+b²=c²，故④正确；
又a=$\sqrt{3}$b，可得：3b²+b²=c²，解得：b=2c，故②正确；
当A=$\frac{2π}{3}$时，C=π-A-B=$\frac{π}{6}$，可得：b=c，此时①正确．
故答案为：①②④．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形内角和定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和分类讨论思想，属于中档题．