Question

18．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，以点F₂为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，切点为P．若∠F₁PF₂=$\frac{2π}{3}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{13}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{21}}}{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{37}$

Answer 1

分析 根据渐近线和圆相切求出交点坐标，结合余弦定理以及双曲线的定义进行求解即可得到结论．

解答 解：∵点F₂为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，切点为P，
∴不妨设切线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
F₂P的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{y=-\frac{a}{b}（x-c）}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{c}}\\{y=\frac{ab}{c}}\end{array}\right.$，即P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
则F₁（-c，0），F₂（c，0），
则|PF₁|=$\sqrt{（\frac{{a}^{2}}{c}+c）^{2}+（\frac{ab}{c}）^{2}}$=$\sqrt{3{a}^{2}+{c}^{2}}$，|PF₂|=$\sqrt{（\frac{{a}^{2}}{c}-c）^{2}+（\frac{ab}{c}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}+\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}（{a}^{2}+{b}^{2}）}{{c}^{2}}}$=b，
∵∠F₁PF₂=$\frac{2π}{3}$，
∴|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos$\frac{2π}{3}$，
即4c²=3a²+c²+b²+2$\sqrt{3{a}^{2}+{c}^{2}}$×b×$\frac{1}{2}$，
即3c²-3a²-b²=$\sqrt{3{a}^{2}+{c}^{2}}$×b，
即2b²=$\sqrt{3{a}^{2}+{c}^{2}}$×b，
则2b=$\sqrt{3{a}^{2}+{c}^{2}}$，
平方得4b²=3a²+c²，
即4（c²-a²）=3a²+c²，
整理得3c²=7a²，
则$\sqrt{3}$c=$\sqrt{7}$a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$=$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$，
故选：B．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据渐近线和圆相切求出交点坐标，结合余弦定理进行求解是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．