Question

8．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，PA⊥底面ABCD，△ABM是边长为2的等边三角形，$PA=DM=2\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求证：平面PAM⊥平面PDM；
（Ⅱ）若点E为PC中点，求二面角P-MD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明DM⊥AM．DM⊥PA，推出DM⊥平面PAM，即可证明平面PAM⊥平面PDM．
（Ⅱ）以D为原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，过D且与PA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面PMD的法向量，平面MDE的法向量，利用向量的 数量积求解二面角P-MD-E的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵△ABM是边长为2的等边三角形，底面ABCD是直角梯形，∴$CD=\sqrt{3}$，
又$DM=2\sqrt{3}$，∴CM=3，∴AD=3+1=4，∴AD²=DM²+AM²，∴DM⊥AM．
又PA⊥底面ABCD，∴DM⊥PA，∴DM⊥平面PAM，
∵DM?平面PDM，∴平面PAM⊥平面PDM．（6分）
（Ⅱ）以D为原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，
过D且与PA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，

则$C（\sqrt{3}，0，0）$，$M（\sqrt{3}，3，0）$，$P（0，4，2\sqrt{3}）$，
设平面PMD的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
则 $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}{x_1}+3{y_1}=0\\ 4{y_1}+2\sqrt{3}{z_1}=0\end{array}\right.$，
取x₁=3，∴$\overrightarrow{n_1}=（3，-\sqrt{3}，2）$．（8分）
∵E为PC中点，则$E（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，2，\sqrt{3}）$，
设平面MDE的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}{x_2}+3{y_2}=0\\ \frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_2}+2{y_2}+\sqrt{3}{z_2}=0\end{array}\right.$，取x₂=3，∴$\overrightarrow{n_2}=（3，-\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$．（10分）
由$cosθ=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{13}{14}$．
∴二面角P-MD-E的余弦值为$\frac{13}{14}$．     （12分）

点评 本题考查二面角的平面镜的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．