Question

3．在直二面角α-l-β中，线段AB的端点A，B分别在α，β内，且AB与α，β所成的角均为30°，则AB与l所成的角为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 直接根据AC⊥β以及常用的结论：cosθ=cos∠ABC•cos∠DCB即可求出结果；

解答 解：如图所示，作AC⊥l，垂足为C，BD⊥l，垂足为D．
连接BC，AD，∵AB与α，β所成的角均为30°，
∴∠ABC=∠DAB=30°
设AB=2，则AC=1，BC=1．
作CE∥DB，BE∥CD，连接AE，则直线AB与CD所成的角就是AB与BE所成角，设为θ，
则AE=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{3}$，可得BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$，而作AC⊥l，垂足为C，BD⊥l，垂足为D．可得CD⊥AC，CD⊥CE，可得CD⊥平面ACE，可得BE⊥平面AEC，∴AE⊥BE，
故θ=45°；
故选：B．

点评 本小题主要考查空间直线所成的角以及二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．