Question

13．已知数列{a_n}满足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n（n∈N⁺），且a₁₀₀₈=$\frac{π}{2}$，若函数f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$，记y_n=f（a_n），则数列{y_n}的前2015项和为（　　）

• A． 2015
• B． -2015
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 由a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n（n∈N⁺），可知：数列{a_n}是等差数列，a₁₀₀₈=$\frac{π}{2}$，可得a₁+a₂₀₁₅=a₂+a₂₀₁₄=π=…．由函数f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$=sin2x+cosx+1，
可得：y_n=f（a_n）=sin2a_n+cosa_n+1，f（a₁）+f（a₂₀₁₅）=2sin（a₁+a₂₀₁₅）cos（a₁-a₂₀₁₅）+2$cos\frac{{a}_{1}+{a}_{2015}}{2}$$cos\frac{{a}_{1}-{a}_{2015}}{2}$+2=2=…，即可得出．

解答 解：∵a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n（n∈N⁺），
∴数列{a_n}是等差数列，
∵a₁₀₀₈=$\frac{π}{2}$，∴a₁+a₂₀₁₅=a₂+a₂₀₁₄=π=…．
∵函数f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$=sin2x+cosx+1，
∴y_n=f（a_n）=sin2a_n+cosa_n+1，
∵f（a₁）+f（a₂₀₁₅）=sin2a₁+cosa₁+sin2a₂₀₁₅+cosa₂₀₁₅+2=2sin（a₁+a₂₀₁₅）cos（a₁-a₂₀₁₅）+2$cos\frac{{a}_{1}+{a}_{2015}}{2}$$cos\frac{{a}_{1}-{a}_{2015}}{2}$+2=2=f（a₂）+f（a₂₀₁₄）=…．．
则数列{y_n}的前2015项和=2×1007+1=2015，
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、和差化积、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．