Question

2．如图，E是平行四边形ABCD的边AD上一点，且$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AD}$，F为BE与AC的交点，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，若$\overrightarrow{BF}$=k$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{AF}$=h$\overrightarrow{AC}$，则k=$\frac{4}{5}$，h=$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 根据向量加法、减法的几何意义便有$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BA}+h\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}+h（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）$，这样进行向量的数乘运算便可得出$\overrightarrow{BF}=（1-h）\overrightarrow{BA}+h\overrightarrow{BC}$，同样可得到$\overrightarrow{BF}=k\overrightarrow{BA}+\frac{k}{4}\overrightarrow{BC}$，这样由平面向量基本定理即可得到$\left\{\begin{array}{l}{1-h=k}\\{h=\frac{k}{4}}\end{array}\right.$，这样解出h，k即可．

解答 解：根据条件：
$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}$
=$\overrightarrow{BA}+h\overrightarrow{AC}$
=$\overrightarrow{BA}+h（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）$
=$（1-h）\overrightarrow{BA}+h\overrightarrow{BC}$；
又$\overrightarrow{BF}=k\overrightarrow{BE}$
=$k（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}）$
=$k（\overrightarrow{BA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}）$
=$k\overrightarrow{BA}+\frac{k}{4}\overrightarrow{BC}$；
∴由平面向量基本定理得，$\left\{\begin{array}{l}{1-h=k}\\{h=\frac{k}{4}}\end{array}\right.$；
解得$k=\frac{4}{5}，h=\frac{1}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}，\frac{1}{5}$．

点评 考查向量加法和减法的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．