Question

10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b≠c，且sin²C-sin²B=$\sqrt{3}$sinBcosB-$\sqrt{3}$sinCcosC．
（1）求角A的大小；
（2）若a=$\sqrt{3}$，sinC=$\frac{3}{4}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角的正余弦公式及两角差的正弦公式便可由$si{n}^{2}C-si{n}^{2}B=\sqrt{3}sinBcosB$$-\sqrt{3}sinCcosC$得到$sin（2B-\frac{π}{6}）=sin（2C-\frac{π}{6}）$，而由条件便可得出B≠C，且$2B+2C-\frac{π}{3}∈（-\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}）$，从而便可得出$2B-\frac{π}{6}+2C-\frac{π}{6}=π$，这样便可求出A=$\frac{π}{3}$；
（2）可根据正弦定理求出c=$\frac{3}{2}$，从而可判断出C＜A，这样便可得出cosC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，而由sinB=sin（A+C）即可求出sinB的值，从而由三角形的面积公式${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB$即可求出△ABC的面积．

解答 解：（1）由题意得，$\frac{1-cos2C}{2}-\frac{1-cos2B}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}sin2B-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2C$；
整理得，$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2B-\frac{1}{2}cos2B=\frac{\sqrt{3}}{2}sin2C-\frac{1}{2}cos2C$；
∴$sin（2B-\frac{π}{6}）=sin（2C-\frac{π}{6}）$；
由b≠c得，B≠C，又B+C∈（0，π）；
∴$2B-\frac{π}{6}+2C-\frac{π}{6}=π$；
∴$B+C=\frac{2}{3}π$；
∴$A=\frac{π}{3}$；
（2）在△ABC中，$a=\sqrt{3}，A=\frac{π}{3}，sinC=\frac{3}{4}$；
∴由正弦定理得，$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}=\frac{c}{\frac{3}{4}}$；
∴$c=\frac{3}{2}$；
由c＜a得，C＜A，∴$cosC=\frac{\sqrt{7}}{4}$；
∴sinB=sin（A+C）
=sinAcosC+cosAsinC
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{7}}{4}+\frac{1}{2}×\frac{3}{4}$
=$\frac{3+\sqrt{21}}{8}$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}×\frac{3+\sqrt{21}}{8}$=$\frac{9}{32}（\sqrt{3}+\sqrt{7}）$．

点评 考查二倍角的正余弦公式，两角和差的正弦公式，三角形的内角和为π，以及正弦定理，大边对大角定理，三角形的面积公式．