Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，点E，F分别为AB和PD的中点．
（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求点F到平面PEC的距离．

Answer 1

分析 （1）设PC的中点为Q，连接EQ，FQ，证明四边形AEQF为平行四边形，得到AF∥EQ，即可证明AF∥平面PEC．
（2）点F到平面PEC的距离等于点A到平面PEC的距离，设为d．通过V_A-PEC=V_P-AEC，求解即可．

解答 （1）证明：设PC的中点为Q，连接EQ，FQ，由题意，FQ∥DC且$FQ=\frac{1}{2}CD$，AE∥CD且$AE=\frac{1}{2}CD$，故AE∥FQ且AE=FQ，所以，四边形AEQF为平行四边形
所以，AF∥EQ，且EQ?平面PEC，AF?平面AEC
所以，AF∥平面PEC（6分）
（2）解：由（1），点F到平面PEC的距离等于点A到平面PEC的距离，设为d．
由条件易求$EC=\sqrt{7}$，PE=$\sqrt{7}$，PC=2$\sqrt{2}$，EQ=$\sqrt{5}$故${S_{△PEC}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{10}$${S_{△AEC}}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以由V_A-PEC=V_P-AEC得$\frac{1}{3}\sqrt{10}•d=\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}•2$，
解得$d=\frac{{\sqrt{30}}}{10}$（12分）

点评 本题考查空间点线面距离的求法，等体积法的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查计算能力以及逻辑推理能力．