Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=-1，a₂=2，满足S_n+1=3S_n-2S_n-1-a_n-1+2（n≥2）
（1）求证：数列{a_n-a_n-1}为等差数列；
（2）求证：$\frac{1}{{a}_{n}+1}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}+1}$+…$\frac{1}{{a}_{2}+1}$＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）将条件移项，整理可得（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2，即可证明数列{a_n-a_n-1}为等差数列；
（2）由（1）a_n-a_n-1=2n-1，利用叠加法可得a_n-a₁=3+…+（2n-1）=（n-1）（n+1），再裂项求和，即可证明结论．

解答 证明：（1）∵S_n+1=3S_n-2S_n-1-a_n-1+2（n≥2）
∴S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）-a_n-1+2
∴a_n+1=2a_n-a_n-1+2
∴（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2，
∵a₁=-1，a₂=2，
∴a₂-a₁=3，
∴数列{a_n-a_n-1}是以3为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）a_n-a_n-1=2n-1，
利用叠加法可得a_n-a₁=3+…+（2n-1）=（n-1）（n+1），
∴a_n+1=（n-1）（n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n}$+…+1-$\frac{1}{3}$）＜$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的求和，考查等差数列的证明，考查裂项法求和，正确证明数列是等差数列是关键．