Question

10．将函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}}$）图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度得到y=cosx的图象，则函数f（x）的单调递增区间为（　　）

• A． [kπ-$\frac{2π}{3}$，kπ+$\frac{π}{3}}$]（k∈Z）
• B． [kπ-$\frac{7π}{12}$，kπ-$\frac{π}{12}}$]（k∈Z）
• C． [4kπ-$\frac{7π}{3}$，kπ-$\frac{π}{3}}$]（k∈Z）
• D． [4kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{3}}$]（k∈Z）

Answer 1

分析 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．

解答 解：将函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}}$）图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
可得y=cos（$\frac{1}{2}$ωx+φ）图象；再向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到 y=cos[$\frac{1}{2}$ω（x-$\frac{π}{6}$）+φ]=cos（$\frac{1}{2}$ωx-$\frac{π}{12}$•ω+φ）的图象，
而由已知可得，得到的是函数y=cosx的图象，∴$\frac{ω}{2}$=1，∴ω=2；
再根据-$\frac{π}{12}$•2+φ=2kπ，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-π≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ，求得kπ-$\frac{7π}{12}$≤x≤kπ-$\frac{π}{12}}$，k∈Z，
则函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{7π}{12}$，kπ-$\frac{π}{12}}$]，（k∈Z），
故选：B．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于基础题．