Question

15．三角形ABC中，3sin²B+7sin²C=2sinAsinBsinC+2sin²A，求sinA的值．

Answer 1

分析 3sin²B+7sin²C=2sinAsinBsinC+2sin²A，由正弦定理可得：3b²+7c²=2bcsinA+2a²，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，化为：2（sinA-2cosA）=$\frac{{b}^{2}+5{c}^{2}}{bc}$=$\frac{b}{c}$+$\frac{5c}{b}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵3sin²B+7sin²C=2sinAsinBsinC+2sin²A，
由正弦定理可得：3b²+7c²=2bcsinA+2a²，
∴a²=$\frac{3{b}^{2}+7{c}^{2}-2bcsinA}{2}$，又a²=b²+c²-2bccosA，
∴$\frac{3{b}^{2}+7{c}^{2}-2bcsinA}{2}$=b²+c²-2bccosA，
化为：2（sinA-2cosA）=$\frac{{b}^{2}+5{c}^{2}}{bc}$=$\frac{b}{c}$+$\frac{5c}{b}$≥2$\sqrt{5}$，当且仅当b=$\sqrt{5}$c时取等号．
即2$\sqrt{5}$sin（A-θ）≥2$\sqrt{5}$，其中tanθ=2．
即sin（A-θ）≥1，又sin（A-θ）≤1，
∴sin（A-θ）=1．
∴A-θ=$\frac{π}{2}$+2kπ，即A=θ+$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈N^*．
∴tanA=tan（θ+$\frac{π}{2}$+2kπ）=tan（θ+$\frac{π}{2}$）=-$\frac{1}{tanθ}$=-$\frac{1}{2}$，
∴A∈（0，π），sinA=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．