Question

11．设P为双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-y²=1（a＞0）的上一点，∠F₁PF₂=$\frac{2π}{3}$，（F₁、F₂为左、右焦点），则△F₁PF₂的面积等于（　　）

• A． $\sqrt{3}{a^2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}{a^2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 先利用双曲线的定义，得|PF₁|-|PF₂|=2a，利用余弦定理求出|PF₁|•|PF₂|的值，结合三角形的面积公式即可求出△F₁PF₂的面积．

解答 解：∵双曲线方程$\frac{x^2}{a^2}$-y²=1（a＞0），
∴b=1，不妨设P是双曲线的右支上的一个点，
则由双曲线的定义，得|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵，∠F₁PF₂=$\frac{2π}{3}$，
∴4c²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos$\frac{2π}{3}$=|PF₁|²+|PF₂|²+|PF₁|•|PF₂|
=（|PF₁|-|PF₂|）²+3|PF₁|•|PF₂|，
即4c²=4a²+3|PF₁|•|PF₂|，
即3|PF₁|•|PF₂|=4c²-4a²=4b²=4，
则|PF₁|•|PF₂|=$\frac{4}{3}$，
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
故选：C．

点评 本题考查三角形面积的求法，根据双曲线的定义结合余弦定理将条件进行转化是解决本题的关键．，解题时要认真审题，注意双曲线定义、余弦定理的灵活运用，是中档题．