Question

【题目】设，。

（Ⅰ）如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；

（Ⅱ）如果对于任意的都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）M＝4；（Ⅱ）[1，＋∞).

【解析】分析：（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等价于g（x）max﹣g（x）min≥M；

（II）对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）max，进一步利用分离参数法，即可求得实数a的取值范围；

详解：（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等价于g（x）max﹣g（x）min≥M

∵g（x）=x3﹣x2﹣3，∴

∴g（x）在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增

∴g（x）min=g（）=﹣，g（x）max=g（2）=1

∴g（x）max﹣g（x）min=

∴满足的最大整数M为4；

（II）对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）max．

由（I）知，在[，2]上，g（x）max=g（2）=1

∴在[，2]上，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立

记h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x且h′（1）=0

∴当时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0

∴函数h（x）在（，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，

∴h（x）max=h（1）=1

∴a≥1