Question

11．已知数列{a_n}为等差数列，且a₃=5，a₇=13．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=2${\;}^{{（a}_{n}+1）}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的性质，a₇=a₃+（7-3）d，求得d，代入a₃=a₁+2d，求得a₁，根据等差数列通项公式，求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知a_n=2n-1，代入求得{b_n}是首项为b₁=4¹=4，公比为4的等比数列，根据等比数列前n项和公式即可求得{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由a₃=5，a₇=13，
a₇=a₃+（7-3）d，即13=5+4d，
∴d=2，
a₃=a₁+2d，即5=a₁+4，
∴a₁=1．
a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
∴{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．
（2）依题意得b_n=2${\;}^{{（a}_{n}+1）}$=4ⁿ，
∴{b_n}是首项为b₁=4¹=4，公比为4的等比数列，
T_n=$\frac{4-{4}^{n+1}}{1-4}$=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1），
∴{b_n}的前n项和$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）．

点评 本题考查等比数列通项公式及等比数列前n项和公式，考查考查运算能力，属于基础题．