Question

11．已知△ABC为等腰直角三角形，且CA=CB=3$\sqrt{2}$，M，N两点在线段AB上运动，且MN=2，则$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的取值范围为（　　）

• A． [12，24]
• B． [8，12]
• C． [8，24]
• D． [8，17]

Answer 1

分析 如图所示，设M（x，y），N（x+$\sqrt{2}$，y-$\sqrt{2}$），0≤x≤2$\sqrt{2}$．直线AB的方程为：x+y=3$\sqrt{2}$．可得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=$2（x-\sqrt{2}）^{2}$+8，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：如图所示，
设M（x，y），N（x+$\sqrt{2}$，y-$\sqrt{2}$），0≤x≤2$\sqrt{2}$．
直线AB的方程为：x+y=3$\sqrt{2}$．
则$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=$x（x+\sqrt{2}）$+y$（y-\sqrt{2}）$
=${x}^{2}+\sqrt{2}x$+$（3\sqrt{2}-x）$$（2\sqrt{2}-x）$
=2x²-4$\sqrt{2}$x+12
=$2（x-\sqrt{2}）^{2}$+8，
∵0≤x≤2$\sqrt{2}$．
∴当x=$\sqrt{2}$时，$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$有最小值8．
当x=2$\sqrt{2}$或0时，$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$有最大值12．
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的取值范围为[8，12]．
故选：B．

点评 本题考查了直线的方程、数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．