Question

3．设二次函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），f（1）=0，且1≤x≤3时，f（x）≤0恒成立，f（x）是区间[2，+∞）是增函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若|f（m）|=|f（n）|，且m＜n＜2，u=m+n，求u的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知f（1）=0，可得c=-b-1，f（x）=x²+bx-b-1=（x-1）（x+b+1），利用1≤x≤3时，f（x）≤0恒成立，f（x）是区间[2，+∞）是增函数，求出b．即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若|f（m）|=|f（n）|，且m＜n＜2，f（m）=-f（n），可得（m-2）²+（n-2）²=2（m＜n＜2），u=m+n，即可求u的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由已知f（1）≥0与f（1）≤0同时成立，则必有f（1）=0，故b+c+1=0．
∴c=-b-1，
∴f（x）=x²+bx-b-1=（x-1）（x+b+1），
∵1≤x≤3时，f（x）≤0恒成立，
∴-b-1≥3，
∴b≤-4，
∵f（x）是区间[2，+∞）是增函数，
∴-$\frac{b}{2}$≤2，
∴b≥-4，
∴b=-4，c=3，
∴f（x）=x²-4x+3；
（Ⅱ）∵f（x）=x²-4x+3，
∴函数在（-∞，2）上单调递减，
∵|f（m）|=|f（n）|，且m＜n＜2，
∴f（m）=-f（n），
∴m²-4m+3=-n²+4n-3，
∴（m-2）²+（n-2）²=2（m＜n＜2）
u=m+n与圆弧相切时，切点为（1，1），u=2，
直线过点（2，2-$\sqrt{2}$）时，u=4-$\sqrt{2}$，
∴u的取值范围是[2，4-$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查函数的解析式，考查二次函数的性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．