Question

14．正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，求侧面与底面所成的角．

Answer 1

分析 作CE⊥AB，交AB于E，作DF⊥平面ABC，交CE于F，由已知得∠DEC是侧面ABD与底面ABC所成的角，由此能求出结果．

解答 解：∵D-ABC是正三棱锥，∴△ABC是等边三角形，
作CE⊥AB，交AB于E，作DF⊥平面ABC，交CE于F，
连结DE，则DE⊥AB，∴∠DEC是侧面ABD与底面ABC所成的角，
设AB=2，则EF=$\frac{1}{3}CE=\frac{1}{3}\sqrt{4-2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，
∴3×$\frac{1}{2}×AB×SE=2×\frac{1}{2}×AB×CE$，
∴3SE=2CE=2$\sqrt{3}$，∴SE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴cos∠DEF=$\frac{EF}{SE}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠DEF=60°．

点评 本题考查正三棱锥的侧面与底面所成的角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．