Question

（本小题满分12分）已知函数，.

（Ⅰ）若函数在定义域上是增函数，求a的取值范围；

（Ⅱ）求的最大值.

Answer 1

（1）[1，＋∞)；（2）－e.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力.第一问，先对求导，将函数在定义域上是增函数，转化为恒成立，即转化为，配方法得到的最大值，即可得到a的取值范围；第二问，先对求导，结合第一问的结论，知在定义域上是增函数，且，利用的单调性，得到的单调性，从而知当时取得最大值.

试题解析：（Ⅰ）由题意得x＞0，． 1分

由函数f(x)在定义域上是增函数得，f(x)≥0，即a≥2x－x2＝－(x－1)2＋1（x＞0）．

因为－(x－1)2＋1≤1（当x＝1时，取等号），

所以a的取值范围是[1，＋∞). 5分

（Ⅱ）， 7分

由（Ⅰ）得a＝2时，f(x)＝x－2lnx－＋1

且f(x)在定义域上是增函数得，又f(1)＝0，

所以，当x∈(0，1)时，f(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0． 10分

所以，当x∈(0，1)时，g(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0．

故x＝1时，g(x)取得最大值－e． 12分

考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值.

考点分析： 考点1：导数及其应用 试题属性

• 题型：
• 难度：
• 考核：
• 年级：