Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2

2

，E，F分别是AD，PC的中点，
（1）证明：EF∥平面BAP；
（2）求平面BEF与平面BAP锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）以AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，得到

EF

=(1，0，1)，平面BAP的法向量

m

=（0，1，0），由此能够证明EF∥平面BAP．
（2）求出平面BEF的法向量

n

=（

2

，2，-

2

），利用向量法能够求出平面BEF与平面BAP锐二面角．

解答：解：（1）以AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
AP=AB=2，BC=2

2

，E，F分别是AD，PC的中点，
∴P（0，0，2），C（2，2

2

，0），E（0，

2

，0），
∴F（1，

2

，1），∴

EF

=(1，0，1)，
∵平面BAP的法向量

m

=（0，1，0），
∴

EF

•

m

=0，
∴

EF

∥平面BAP，
∵EF?平面BAP，∴EF∥平面BAP．
（2）∵B（2，0，0），E（0，

2

，0），F（1，

2

，1），
∴

BE

=(-2，

2

，0)，

BF

=(-1，

2

，1)，
设平面BEF的法向量

n

=（x，y，z），则

n

•

BE

=0，

n

•

BF

=0，
∴

-2x+ 2 y=0 -x+ 2 y+z=0

，
解得

n

=（

2

，2，-

2

），
设平面BEF与平面BAP锐二面角为α，
则cosα=|cos＜

m

，

n

＞|=|

0+2+0

8 • 1

|=

2

2

，
∴平面BEF与平面BAP锐二面角为

π

4

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．