Question

6．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若关于x的不等式f（x）＞1有解，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）在区间（0，2）上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=ax+lnx，f′（x）=a+$\frac{1}{x}$，由题意可知：f′（1）=0，代入即可求得a的值；
（2）由题意可知f（x）的最大值大于1，求导，f′（x）=$\frac{ax+1}{x}$，a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在定义域上是增函数，显然成立，a＜0时，令f'（x）＞0，求得函数的单调递增区间，f'（x）＜0求的函数单调递减区间，当x=-$\frac{1}{a}$时，f（x）有最大值，由-1+ln（-$\frac{1}{a}$）＞1，即可求得实数a的取值范围；
（3）由题意可知f（x）在区间（0，2）上，f'（x）＞0恒成立或f'（x）＜0恒成立，由（2）可知a≥0时，满足题意，a＜0时，-$\frac{1}{a}$≥2，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）=ax+lnx，f′（x）=a+$\frac{1}{x}$，
由x=1是函数f（x）的一个极值点，即f′（1）=0，
∴a+1=0，解得：a=-1，
∴a的值-1；
（2）由f（x）＞1有解，
∴只需f（x）的最大值大于1即可，
由f（x）=ax+lnx，（0，+∞），
f′（x）=a+$\frac{1}{x}$=$\frac{ax+1}{x}$，
①a≥0时，f'（x）＞0，则f（x）在定义域上是增函数，显然满足题意；
②a＜0时，0＜x＜-$\frac{1}{a}$时，f'（x）＞0；
x＞-$\frac{1}{a}$时，f'（x）＜0；
∴f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$）上单调递增，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减；
∴当x=-$\frac{1}{a}$时，f（x）有最大值，f（-$\frac{1}{a}$）=-1+ln（-$\frac{1}{a}$），
-1+ln（-$\frac{1}{a}$）＞1，
ln（-$\frac{1}{a}$）＞2，
-$\frac{1}{a}$＞e²，
a＞-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴-$\frac{1}{{e}^{2}}$＜a＜0，
综上，实数a的取值范围为：（-$\frac{1}{{e}^{2}}$，∞）；
（3）f（x）在区间（0，2）上是单调函数，
即：在区间（0，2）上，f'（x）＞0恒成立或f'（x）＜0恒成立；
由（2）知：a≥0时，满足题意；
a＜0时，要满足题意，则-$\frac{1}{a}$≥2，
∴-$\frac{1}{2}$≤a＜0
综上，实数a的取值范围为（-$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，函数的单调性及不等式恒成立问题，考查计算能力，属于中档题．