Question

11．已知函数f（x）=asinx-x+b（a、b均为大于零的常数）．设函学f（x）在x=$\frac{π}{3}$处有极值，对于一切x∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式f（x）＞sinx+cosx总成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 f（x）进行求导，利用函数f（x）在x=$\frac{π}{3}$处有极值，可得f′（$\frac{π}{3}$）=0，求出a的值，将问题转化为b＞x+cosx-sinx对一切x∈[0，$\frac{π}{2}$]，恒成立，利用常数分离法，根据函数的导数及正弦函数图象及性质求得函数的单调性及最值，即可求得实数b的取值范围．

解答 解：∵f（x）=asinx-x+b，
∴f'（x）=acosx-1，
由题意得f'（$\frac{π}{3}$）=0，即acos$\frac{π}{3}$-1=0，a=2，
问题等价于b＞x+cosx-sinx对一切x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
记g（x）=x+cosx-sinx，g′（x）=1-sinx-cosx=1-$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴1≤$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
∴g'（x）≤0，即g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]，上是减函数，
∴g（x）_max=g（0）=1，于是b＞1，
故b的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性及函数最值与极值，考查函数的恒成立问题，三角恒等变换，正弦函数图象及性质，考查转化思想，属于中档题．