Question

2．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m（0＜m＜2）．
（Ⅰ）试问直线B₁D₁与AP能否垂直？并说明理由；
（Ⅱ）若直线AP与平面BDD₁B₁所成角为60°，试确定m值；
（Ⅲ）若m=1，求平面PA₁D₁与平面PAB所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，求得B₁，D₁与A，P的坐标，运用向量的坐标表示和向量垂直的表示，即可得到证明；
（Ⅱ）运用线面垂直，可得$\overrightarrow{AC}为平面B{B_1}{D_1}D$的一个法向量．设直线AP与平面$BDD_1^{\;}B_1^{\;}$所成的角为θ，即可得到方程，解方程可得m；
（Ⅲ）分别求得平面PA₁D₁的法向量，平面PAB的法向量，运用法向量的夹角公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，2），A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），P（0，1，m），
所以$\overrightarrow{{B_1}{D_1}}=（-1，-1，0），\;\;\overrightarrow{AP}=（-1，1，m）$，$⇒\overrightarrow{{B_1}{D_1}}•\overrightarrow{AP}=1-1+0=0⇒\overrightarrow{{B_1}{D_1}}⊥\overrightarrow{AP}$．…（4分）
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{BD}=（-1，-1，0），\;\;\overrightarrow{BB_1^{\;}}=（0，0，2）$，
$\overrightarrow{AC}=（-1，1，0）$．
又∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=0，\;\;\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BB_1^{\;}}=0$，
∴$\overrightarrow{AC}为平面B{B_1}{D_1}D$的一个法向量．
设直线AP与平面$BDD_1^{\;}B_1^{\;}$所成的角为θ，
则$sinθ=cos（{\frac{π}{2}-θ}）=\frac{{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}|}}{{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{AC}|}}$=$\frac{2}{{\sqrt{2}•\sqrt{{2+m_{\;}^2}}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
解得$m=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…（8分）
（Ⅲ）∵m=1，∴P（0，1，1），
∴$\overrightarrow{{D_1}{A_1}}=（1，0，0），\;\;\overrightarrow{{D_1}P}=（0，1，-1），\overrightarrow{AB}=（0，1，0），\overrightarrow{AP}=（-1，1，1）$．
设平面PA₁D₁的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，即有$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}-{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
可求得$\overrightarrow{n_1}=（0，1，1）$；
设平面PAB的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{2}=0}\\{-{x}_{2}+{y}_{2}+{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，
可求得$\overrightarrow{n_2}=（1，0，1）$．
∴$cos\left?{\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}}\right＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{1}{2}⇒\left?{\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}}\right＞={60^0}$，
故平面PA₁D₁与平面PAB所成锐二面角为60⁰．…（12分）

点评 本题考查线线垂直和线面角、二面角的大小求法，注意运用空间向量法，考查运算能力，属于中档题．