Question

20．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），f′（x）是函数f（x）的导函数，且g（x）=2f（x）+f′（x），把g（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，得到的函数为偶函数，则φ的最小值为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{12}$
• D． $\frac{π}{24}$

Answer 1

分析 由条件可求f′（x），根据三角函数恒等变换的应用可求g（x），进而根据正弦函数的奇偶性、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得φ的值．

解答 解：∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），f′（x）是函数f（x）的导函数，
∴f′（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），
∴g（x）=2f（x）+f′（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+2cos（2x+$\frac{π}{3}$）=2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{7π}{12}$），
∴把g（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，得到的函数解析式为：y=2$\sqrt{2}$sin[2（x-φ）+$\frac{7π}{12}$]=2$\sqrt{2}$sin（2x-2φ+$\frac{7π}{12}$），
∵得到的此函数为偶函数，可得：-2φ+$\frac{7π}{12}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即 φ═$\frac{π}{24}$-$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∵φ＞0，
∴当k=0时，φ的最小值为$\frac{π}{24}$．
故选：D．

点评 本题主要考查正弦函数的图象，正弦函数的周期性和奇偶性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查了转化思想，属于中档题．