Question

3．已知数列{a_n}满足a_n+1-a_n=1，a₁=1，等比数列{b_n}，记数列 {b_n}的前n项和为S_n，且b₂=$\frac{16}{25}$，S₂=$\frac{36}{25}$．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）设c_n=a_n-b_n，问数列{c_n}是否存在最大项？若存在，求出最大项；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出数列{a_n}为等差数列，且公差d=1，由此能求出数列{a_n}的通项公式；由等比数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
{（2）先求出c_n=（$\frac{4}{5}$）ⁿ•$\frac{4-n}{5}$，当n≤3时，c₄＞c₃＞c₂＞c₁，当n=4时，c₄=c₅，当n≥5时，c₅＞c₆＞c₇＞c₈＞…，由此能求出数列{c_n}的最大项．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a_n+1-a_n=1，a₁=1，
∴数列{a_n}为等差数列，且公差d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．…（2分）
设等比数列{b_n}的首项为b₁，公比为q，
∵b₂=$\frac{16}{25}$，S₂=$\frac{36}{25}$，
∴由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{b_2}={b_1}q=\frac{16}{25}\\{S_2}={b_1}+{b_1}q=\frac{36}{25}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b_1}=\frac{4}{5}\\ q=\frac{4}{5}\end{array}\right.$，
∴${b_n}={（\frac{4}{5}）^n}$…（4分）
（2）∵c_n=a_n-b_n，
∴由（1）可得${c_n}=n•{（\frac{4}{5}）^n}$${c_{n+1}}-{c_n}=（n+1）•{（\frac{4}{5}）^{n+1}}-n•{（\frac{4}{5}）^n}={（\frac{4}{5}）^n}\frac{4-n}{5}$…（5分）
当n≤3时，c_n+1＞c_n，
∴c₄＞c₃＞c₂＞c₁，
当n=4时，c_n+1=c_n，
∴c₄=c₅，
当n≥5时，c_n+1＜c_n，
∴c₅＞c₆＞c₇＞c₈＞…（8分）
∴数列{c_n}的最大项为${c_4}=\frac{1024}{625}$或${c_5}=\frac{1024}{625}$．…（9分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．