Question

某唱片公司要发行一张名为《春风再美也比不上你的笑》的唱片，包含《新花好月圆》、《荷塘月色》等10首创新经典歌曲．该公司计划用x（百万元）请李子恒老师进行创作，经调研知：该唱片的总利润y（百万元）与（3-x）x²成正比的关系，当x=2时y=32．又有

x

2(3-x)

∈（0，t]，其中t是常数，且t∈（0，2]．
（Ⅰ）设y=f（x），求其表达式，定义域（用t表示）；
（Ⅱ）求总利润y的最大值及相应的x的值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数模型的选择与应用

专题：应用题

分析：（Ⅰ）设出正比例系数，把x=2，y=32代入函数关系式，求得正比例系数，则函数解析式可求，再由

x

2(3-x)

∈（0，t]求解分式不等式得x得取值范围；
（Ⅱ）求出利润函数的导函数，由导函数的零点在不在定义域范围内研究原函数的单调性，并求函数的最值．

解答： 解：（Ⅰ）设y=k（3-x）x²，
∵当x=2时，y=32，
∴k=8，则y=24x²-8x³，
∵

x

2(3-x)

∈（0，t]，
∴0＜

x

2(3-x)

≤t，
即

x 2(3-x) ＞0    ① x 2(3-x) ≤t  ②

，
解①得：0＜x＜3．
解②得：x＜

6t

2t+1

或x＞3．
∴0＜x≤

6t

2t+1

；
（Ⅱ）由y′=-24x（x-2）=0，
得x=0或x=2．
若2≤

6t

2t+1

，即1≤t≤2时，f（x）在（0，2）单调递增，在（2，

6t

2t+1

）上单调递减．
∴y_max=f（2）=32；
若2＞

6t

2t+1

，即0＜t＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，

6t

2t+1

）上为增函数．
ymax=f(

6t

2t+1

)=

864t2

(2t+1)3

．
综上述：当1≤t≤2时，y_max=f（2）=32；
当0＜t＜1时，ymax=

864t2

(2t+1)3

．

点评：本题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，是中档题．