Question

已知△ABC中的内角A，B，C对边分别为a，b，c，

3

sin2C+2cos²C+1=3，c=

3

．
（1）若cosA=

2 2

3

，求a；
（2）若2sinA=sinB，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）根据条件将条件进行化简利用cosA=

2 2

3

，即可求a；
（2）根据正弦定理以及三角形的面积公式即可得到结论．

解答： 解：∵

3

sin 2C+2cos²C+1=3，
∴2sin（2C+

π

6

）+2=3．
即sin（2C+

π

6

）=

1

2

，
又∵0＜C＜π，
∴

π

6

＜2C+

π

6

＜

13

6

π，
即有2C+

π

6

=

5π

6

，解得C=

π

3

．
（1）∵cos A=

2 2

3

，
∴sin A=

1

3

．由正弦定理得

a

1 3

=

3

3 2

，解得a=

2

3

．
（2）∵2sin A=sin B，
∴2a=b，①
∵c²=a²+b²-2abcos

π

3

，
∴a²+b²-ab=3．②
由①②解得a=1，b=2，
∴S_△ABC=

1

2

×1×2×

3

2

=

3

2

．

点评：本题主要考查正弦定理的应用，要求熟练掌握三角形的面积公式以及正弦定理的综合应用．