Question

12．设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足x²+2x-8＞0
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a，把a=1代入可得解集．命题q：实数x满足x²+2x-8＞0，解得x＞2或x＜-4．由于p∧q为真，可得p与q都为真命题．
（2）￢q是￢p的充分不必要条件，可得p是q的充分不必要条件，即可得出．

解答 解：（1）命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a，由于a=1，
∴1＜x＜3．
命题q：实数x满足x²+2x-8＞0，解得x＞2或x＜-4．
∵p∧q为真，
∴p与q都为真命题．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{x＞2或x＜-4}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3．
∴实数x的取值范围是2＜x＜3．
（2）∵￢q是￢p的充分不必要条件，
∴p是q的充分不必要条件，
∴a≥2或3a≤-4，
解得a≥2，或a$≤-\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了不等式的解法及其性质、集合运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．