Question

如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足AE=CF=CP=1。今将△BEP，△CFP分别沿EP，FP向上折起，使边BP与边CP所在的直线重合（如图2），B，C折后的对应点分别记为B₁，C₁，
（Ⅰ）求证：PF⊥平面B₁EF；
（Ⅱ）求AB₁与平面AEPF所成的角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接EF， 由已知得∠EPF=60°，且FP=1，EP=2， 故PF⊥EF， 又FC1=PB1， 故PF⊥B1F， 因EF∩B1F=F， 故PF⊥平面B1EF； （Ⅱ）解：连接AB1，作B1O⊥EF于O， 由（Ⅰ）知PF⊥平面B1EF，而PF平面AEPF， 故平面B1EF⊥平面AEPF， ∵平面B1EF∩平面AEPF=EF， ∴B1O⊥平面EPF， ∴∠B1AO就是AB1与平面EFP所成的角， ∵AE∥PF， ∴AE⊥EB1， ∵AE=1，EB1=2， ∴， 在△B1EF中，B1E=2，B1F=EF=， ∴， 则B1O=B1F·sin∠B1FE=， 故。