Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_m，a_m+2，a_m+1（m∈N^*）成等差数列，试判断S_m，S_m+2，S_m+1是否成等差数列，并证明你的结论．

Answer 1

分析：直接利用等差数关系，求出公比，然后判断当q=1时，S_m，S_m+2，S_m+1不成等差数列．当q=-

1

2

时，S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列．
证法1：证明（S_m+S_m+1）-2S_m+2=0即可．证法2：利用等比数列求出S_m+S_m+1与2S_m+2的值相等即可．

解答：解：设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q（a₁≠0，q≠0），若a_m，a_m+2，a_m+1成等差数列，
则2a_m+2=a_m+a_m+1．
∴2a₁q^m+1=a₁q^m-1+a₁q^m．
∵a₁≠0，q≠0，∴2q²-q-1=0．
解得q=1或q=-

1

2

．
当q=1时，∵S_m=ma₁，S_m+1=（m+1）a₁，S_m+2=（m+2）a₁，
∴2S_m+2≠S_m+S_m+1．
∴当q=1时，S_m，S_m+2，S_m+1不成等差数列．
当q=-

1

2

时，S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列．下面给出两种证明方法．
证法1：∵（S_m+S_m+1）-2S_m+2=（S_m+S_m+a_m+1）-2（S_m+a_m+1+a_m+2）=-a_m+1-2a_m+2=-a_m+1-2a_m+1q=-am+1-2am+1(-

1

2

)=0，
∴2S_m+2=S_m+S_m+1．
∴当q=-

1

2

时，S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列．
证法2：∵2Sm+2=

2a1[1-(- 1 2 )m+2]

1+ 1 2

=

4

3

a1[1-(-

1

2

)m+2]，
又Sm+Sm+1=

a1[1-(- 1 2 )m]

1+ 1 2

+

a1[1-(- 1 2 )m+1]

1+ 1 2

=

2

3

a1[2-(-

1

2

)m-(-

1

2

)m+1]=

2

3

a1[2-4×(-

1

2

)m+2+2×(-

1

2

)m+2]=

4

3

a1[1-(-

1

2

)m+2]，
∴2S_m+2=S_m+S_m+1．
∴当q=-

1

2

时，S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列．

点评：本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力