Question

【题目】若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为 ，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（ ）
A.4π
B.8π
C.16π
D.32π

Answer 1

【答案】A
【解析】解：如图，取BC中点D，连结AD、PD，

∵AB=AC，∴AD⊥BC，由因为PA⊥面ABC，∴BC⊥面PAD，

过A作AH⊥PD于D，易知AH⊥面PBC，

∴∠APD就是直线PA与平面PBC所成角，∴tan∠APD= ，

∵AD= ，∴ ．

∵AB，AC，AP相互垂直，∴以AB，AC，AP为棱的长方体的外接球就是三棱锥P﹣ABC的外接球，

∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R= ，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=4π；

所以答案是：A．