Question

如图，在三棱锥P-ABC中，E，F，G，H分别是AB，AC，PC，BC的中点，且PA=PB，AC=BC，求证：（1）AB⊥PC；（2）PE∥平面FGH．

Answer 1

分析：（1）连接CE，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AB⊥PE，AB⊥CE，进而由线面垂直的判定定理得到AB⊥面PCE，进而再由线面垂直的性质，得到AB⊥PC．
（2）由于E，F，G，H分别是AB，AC，PC，BC的中点，根据三角形中位线的性质，可得GH∥面PAB，得GF∥面PAB，由面面平行的判定定理，可得面PAB∥面FGH，进而由面面平行的性质，得到PE∥平面FGH．

解答：证明：（1）连接CE，
因为PA=PB，E为AB中点，
所以AB⊥PE，…（2分）
同理，由AC=BC的AB⊥CE，…（3分）
又PE∩CE=E，PE，CE?面PCE，
所以AB⊥面PCE，…（5分）
而PC?面PCE，所以AB⊥PC；   …（7分）
（2）因为G，H分别是PC，BC的中点，所以GH∥PB，GH?面PAB，PB?面PAB，
所以GH∥面PAB，同理由G，F分别是PC，AC的中点，得GF∥面PAB，…（10分）
又FG∩GH=G，FG，GH?面FGH，所以面PAB∥面FGH，…（12分）
而PE?平面PAB，所以PE∥平面FGH．                         …（14分）
（注：本题第二问在证明面面平行时如果用线线平行直接得到要扣3分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，其中（1）的关键是证得AB⊥面PCE，（2）的关键是证得面PAB∥面FGH．