Question

10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cosB=-$\frac{1}{2}$．
（1）求sinAsinC的取值范围；
（2）若b=2$\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得B=120°，A+C=60°．再利用积化和差公式化简sinAsinC 为$\frac{1}{2}$cos（A-C）-$\frac{1}{4}$．再根据再根据-60°＜A-C＜60°，利用余弦函数的定义域和值域求得sinAsinC的取值范围．
（2）由条件利用余弦定理、基本不等式求得ac的最大值，从而求得△ABC面积的最大值的最大值．

解答 解：（1）△ABC中，由cosB=-$\frac{1}{2}$，可得B=120°，A+C=60°．
∴sinAsinC=$\frac{1}{2}$[cos（A-C）-cos（A+C）]=$\frac{1}{2}$[cos（A-C）-$\frac{1}{2}$]=$\frac{1}{2}$cos（A-C）-$\frac{1}{4}$．
再根据-60°＜A-C＜60°，可得cos（A-C）∈（$\frac{1}{2}$，1），$\frac{1}{2}$cos（A-C）∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{1}{2}$cos（A-C）-$\frac{1}{4}$∈（0，$\frac{1}{4}$），即sinAsinC的取值范围为（0，$\frac{1}{4}$）．
（2）若b=2$\sqrt{3}$，由余弦定理可得b²=12=a²+c²-2ac•cosB≥2ac+ac=3ac，
即ac≤4，当且仅当a=c=2时，取等号，故ac的最大值为4，
故△ABC面积为$\frac{1}{2}$ac•sin120°≤$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查积化和差公式、余弦定理、余弦函数的定义域和值域，基本不等式的应用，属于中档题．