Question

【题目】已知n为正整数，数列{an}满足an＞0， ，设数列{bn}满足
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值；
（3）若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn ， 对任意的n∈N* ， 均存在m∈N* ， 使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵数列{an}满足an＞0， ，

∴ =4 ，∴ =2 ，

∴数列 为等比数列，其首项为a1，公比为2

（2）解：由（1）可得： =a12n﹣1，

an= ， = ．

∵数列{bn}是等差数列，∴2b2=b1+b3，

∴ = + ，

解得t=4或12．

t=4时，bn= = ，是关于n的一次函数，因此数列{bn}是等差数列．

t=12时，bn= ，bn+1﹣bn= ，不是关于n的一次函数，

因此数列{bn}不是等差数列．

综上可得t=4

（3）解：由（2）得bn= ，

对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，

即有8a14 n（1+n）﹣a14n2=16 ，

化简可得m= ，

当a1=2k，k∈N*，m= =nk2，对任意的n∈N*，符合题意；/span>

当a1=2k﹣1，k∈N*，当n=1时，m= = =k2﹣k+ ，

对任意的n∈N*，不符合题意．

综上可得，当a1=2k，k∈N*，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，

使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立

【解析】（1）由题意整理可得， =2 ，再由等比数列的定义即可得证；（2）运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，可得2b2=b1+b3 ， 解方程可得t，对t的值，检验即可得到所求值；（3）由（2）可得bn= ，对任意的n∈N* ， 均存在m∈N* ， 使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，即有8a14 n（1+n）﹣a14n2=16 ，讨论a1为偶数和奇数，化简整理，即可得到所求值．
【考点精析】利用等差数列的性质和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．