Question

【题目】如图，点B是以AC为直径的圆周上的一点，PA=AB=BC，AC=4，PA⊥平面ABC，点E为PB中点．

（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求直线AE与平面PAC所成角的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：∵PA⊥⊙O所在平面，且BC为⊙O的弦， ∴PA⊥BC
∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AC．
而PA∩AC=A．
∴BC⊥面PAC，
∵AE平面PAC，∴BC⊥AE，
∵PA=AB，PA⊥平面ABC，点E为PB的中点．
∴AE⊥PB，PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC．
∵AE平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：作BO⊥平面APC，取PO的中点G，连结EG，
则EG∥BO，EG⊥平面PAC，连结AG，
∴∠EAG就是直线AE与平面PAC所成角，
AE= PB=2，GE= =1，
∴sin∠EAG= = ，
∴直线AE与平面PAC所成角为： ．

【解析】（Ⅰ）证明BC⊥面PAC，推出BC⊥AE，然后证明AE⊥PB，推出AE⊥平面PBC，然后证明平面AEC⊥平面PBC．（Ⅱ）作BO⊥平面APC，取PO的中点G，连结EG，连结AG，说明∠EAG就是直线AE与平面PAC所成角，通过解三角形求解即可．
【考点精析】关于本题考查的平面与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角，需要了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能得出正确答案．