Question

【题目】已知数列{an}中，a1=1且an+1=an+2n+1，设数列{bn}满足bn=an﹣1，对任意正整数n不等式 均成立，则实数m的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】[ ，+∞）
【解析】解：由an+1=an+2n+1，则an+1﹣an=2n+1， 则a2﹣a1=3，
a3﹣a2=5，
a4﹣a3=7，
…
an﹣an﹣1=2n﹣1，
以上各式相加：an﹣a1=3+5+7+…+2n﹣1= =n2﹣1，
an=n2﹣1+a1=n2 ，
当n=1时成立，
∴an=n2 ，
bn=an﹣1=n2﹣1=（n+1）（n﹣1），
当n≥2时，则 = = （ ﹣ ），
+ +…+ = （1﹣ ）+ （ ﹣ ）+ （ ﹣ ）+…+ （ ﹣ ）+ （ ﹣ ），
= （1+ ﹣ ﹣ ）＜ ，
由 ，则 ，
实数m的取值范围[ ，+∞），
所以答案是：[ ，+∞）．